INTEGRAL
LIPAT - DUA
1.
PENDAHULUAN
Usaha pemecahan tentang luas telah menuju ke pendefinisian
integral tentu. Dalam berbagai cara yang sama, sekarang kita mencoba mencari
volume benda pejal dan dalam prosesnya kita sampai pada definisi integral lipat
dua.
Telaah kembali tentang materi dasar yang berkenaan dengan
integral tentu dari fungsi peubah tunggal. Jika f(x) didefinisikan sebagai a
, artinya kita membagi selang
menjadi menjadi n selang bagian
berlebar sama
x
= (b - a)/n dan kita pilih titik-titik sampel x, dalam selang bagian ini. Kemudian
kita bentuk jumlah Riemann:
Dan mengambil
limit jumlah tersebut seraya
n
untuk mendapatkan integral tentu
f dari
a ke
b :
Dalam
kasus khusus dengan
0,
jumlah Riemann dapat ditafsirkan sebagai jumlah luas segiempat penghampir dalam
gambar di bawah dan
menyatakan luas daerah di bawah kurva y = f(x) dari a ke b.
2.
INTEGRAL
LIPAT – DUA
Dalam
cara yang serupa, kita tinjau fungsi dua peubah f yang didefinisikan pada segiempat tertutup. Untuk integral lipat dua dari fungsi dengan
dua peubah pembatasannya adalah bahwa fungsi dua peubah tersebut terdefinisi
pada suatu daerah tertutup di R2. Yang dimaksud daerah tertutup disini adalah
daerah beserta dengan batas-batasnya. Apabila dikatakan daerah, maka yang
dimaksud adalah daerah tertutup.
Kita
tinjau fungsi dua peubah f yang
didefinisikan pada segiempat tertutup. Misalkan
fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang xoy.
Dan mula-mula kita misalkan f(x, y)
0. Grafik f
adalah permukaan dengan persamaan
. Misalkan S adalah
benda pejal yang terletak di atas R dan di bawah grafik f, yakni:
(Lihat gambar di samping) tujuan kita adalah
mencari volume S. Langkah pertama adalah membagi segiempat R menjadi beberapa
bagian. Kita lakukan ini dengan membagi selang
menjadi m selang bagian
berlebar sama
dan dengan membagi
menjadi n selang bagian
berlebar sama
.
Dengan menarik garis-garis sejajar
terhadap sumbu koordinat melalui titik ujung selang bagian dalam bentuk segiempat
bagian.
=
masing- masing dengan luas
Jika kita pilih salah satu
titik sampel
dalam masing- masing
maka kita dapat menghampiri bagian S yang
terletak di atas masing- masing
menggunakan kotak segiempat tipis (atau kolom)
dengan alas
dan tinggi
.
Maka voleme kotak adalah tinggi kotak kali luas segiempat alas :
=
Dapat dilihat maka untuk semua segiempat jika ditambahkan volume
kotak yang berkaitan , maka volume total S hampir diperoleh.
Intuisi kita
memberitahu bahwa hampiran yang diberikan menjadi lebih baik begitu m dan n
menjadi lebih besar, sehingga diharapkan menjadi :
Jika
maka volume V dari benda pejal yang terletak
di atas segiempat R dan di bawah permukaan
adalah
Ø
Untuk menghitung integral lipat dua dapat
digunakan integral berulang yang ditulis dalam bentuk :
a.
dimana integral yang ada dalam kurung harus
dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variable y konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap y.
b.
dimana integral yang ada dalam kurung harus
dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variable x konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap x.
Jika integral lipat dua di atas ada, maka (a)
dan (b) secara umum akan memberikan hasil yang sama.
Contoh
:
1.
Hitung
luas daerah yang dibatasi oleh x + y = 2 dan 2y = x + y
Penyelesaian
:
2.
Tentukan
volume V suatu benda padat di bawah permukaan
dan di atas persegi panjang
Penyelesaian
:
Soal – Soal Latihan