Social Icons

Thursday 28 February 2013

integral lipat dua


INTEGRAL LIPAT - DUA

1.      PENDAHULUAN

Usaha pemecahan tentang luas telah menuju ke pendefinisian integral tentu. Dalam berbagai cara yang sama, sekarang kita mencoba mencari volume benda pejal dan dalam prosesnya kita sampai pada definisi integral lipat dua.

Telaah kembali tentang materi dasar yang berkenaan dengan integral tentu dari fungsi peubah tunggal. Jika f(x) didefinisikan sebagai a , artinya kita membagi selang  menjadi menjadi n selang bagian  berlebar sama x = (b - a)/n dan kita pilih titik-titik sampel x, dalam selang bagian ini. Kemudian kita bentuk jumlah Riemann:

 





            Dan mengambil limit jumlah tersebut seraya n    untuk mendapatkan integral tentu f dari a ke b :



Dalam kasus khusus dengan  0, jumlah Riemann dapat ditafsirkan sebagai jumlah luas segiempat penghampir dalam gambar di bawah dan  menyatakan luas daerah di bawah kurva y = f(x) dari a ke b.








2.      INTEGRAL LIPAT – DUA

Dalam cara yang serupa, kita tinjau fungsi dua peubah f yang didefinisikan pada segiempat tertutup. Untuk integral lipat dua dari fungsi dengan dua peubah pembatasannya adalah bahwa fungsi dua peubah tersebut terdefinisi pada suatu daerah tertutup di R2. Yang dimaksud daerah tertutup disini adalah daerah beserta dengan batas-batasnya. Apabila dikatakan daerah, maka yang dimaksud adalah daerah tertutup.

Kita tinjau fungsi dua peubah f yang didefinisikan pada segiempat tertutup. Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang xoy.


Dan mula-mula kita misalkan f(x, y)  0. Grafik f adalah permukaan dengan persamaan . Misalkan S adalah benda pejal yang terletak di atas R dan di bawah grafik f, yakni:
(Lihat gambar di samping) tujuan kita adalah mencari volume S. Langkah pertama adalah membagi segiempat R menjadi beberapa bagian. Kita lakukan ini dengan membagi selang  menjadi m selang bagian  berlebar sama  dan dengan membagi  menjadi n selang bagian  berlebar sama .





Dengan menarik garis-garis sejajar terhadap sumbu koordinat melalui titik ujung selang bagian dalam bentuk segiempat bagian.

   =

masing- masing dengan luas
Jika kita pilih salah satu titik sampel  dalam masing- masing  maka kita dapat menghampiri bagian S yang terletak di atas masing- masing  menggunakan kotak segiempat tipis (atau kolom) dengan alas dan tinggi .
Maka voleme kotak adalah tinggi kotak kali luas segiempat alas :


   =  

Dapat dilihat maka  untuk semua segiempat jika ditambahkan volume kotak yang berkaitan , maka volume total S hampir diperoleh.

 




Intuisi kita memberitahu bahwa hampiran yang diberikan menjadi lebih baik begitu m dan n menjadi lebih besar, sehingga diharapkan menjadi :

 





Jika  maka volume V dari benda pejal yang terletak di atas segiempat R dan di bawah permukaan  adalah
 







Ø   












Untuk menghitung integral lipat dua dapat digunakan integral berulang yang ditulis dalam bentuk :
a.      
dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variable y konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap y.
b.     
dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variable x konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap x.
Jika integral lipat dua di atas ada, maka (a) dan (b) secara umum akan memberikan hasil yang sama.


Contoh :
1.      Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x + y = 2 dan 2y = x + y
Penyelesaian :

         

2.      Tentukan volume V suatu benda padat di bawah permukaan  dan di atas persegi panjang  
Penyelesaian :


Soal – Soal Latihan

No comments:

Post a Comment

 

Sample text

Sample Text

Sample Text